Нед. 4. Базис, координаты, матрица перехода между базисами, транспонирование матрицы

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

23 сентября 2025 г.

Quiz | Flashcards

1. Краткое содержание

1.1 Базис векторного пространства

Базис (basis) векторного пространства — одно из базовых понятий линейной алгебры: это набор «опорных» направлений, задающих систему координат в пространстве. Чтобы набор векторов был базисом, должны выполняться два условия:

  1. Линейная независимость (linear independence): ни один вектор нельзя представить как линейную комбинацию остальных — каждый вектор добавляет новое направление без избыточности. На плоскости \(\mathbb{R}^2\) три вектора уже не могут быть базисом: один из них окажется лишним. Базис плоскости состоит ровно из двух линейно независимых векторов.
  2. Порождение пространства (spanning): любой вектор пространства получается как линейная комбинация базисных векторов — базис «достаточно богат», чтобы «достроить» любую точку (вектор) пространства.

Стандартный пример — стандартный базис (standard basis) в \(\mathbb{R}^2\) из двух векторов: \[ \mathcal{S} = \left\{ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \] Здесь \(\vec{e}_1\) — единичный вектор вдоль оси \(x\), а \(\vec{e}_2\) — вдоль оси \(y\). Любой вектор \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) единственным образом записывается как \(a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2\).

1.2 Координаты относительно базиса

Вектор — геометрический объект, но его числовая запись зависит от выбранного базиса. Вектор координат (coordinate vector) вектора \(\vec{v}\) в базисе \(\mathcal{B} = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_n\}\) — это единственный набор скаляров (весов) \(c_1, c_2, \dots, c_n\), для которого \[ \vec{v} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_n\vec{b}_n \] Эти скаляры записывают столбцом и обозначают \([\vec{v}]_{\mathcal{B}}\): \[ [\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \] Важная мысль: один и тот же геометрический вектор в разных базисах имеет разные координаты. Смена базиса — это смена «сетки», по которой вы измеряете положение вектора.

1.3 Матрица перехода между базисами (change-of-basis matrix)
1.3.1 Определение и роль

Матрица перехода (change-of-basis matrix) — это матрица, которая систематически переводит координаты вектора из одного базиса в другой. Матрица, переводящая координаты из «старого» базиса \(\mathcal{B}\) в «новый» базис \(\mathcal{C}\), обозначается \(P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}\).

Она задаёт преобразование \[ [\vec{v}]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [\vec{v}]_{\mathcal{B}} \] Чтобы построить эту матрицу, в столбцы записывают координаты старых базисных векторов \(\mathcal{B}\), но выраженные в базисе \(\mathcal{C}\): \[ P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} [\vec{b}_1]_{\mathcal{C}} & [\vec{b}_2]_{\mathcal{C}} & \dots & [\vec{b}_n]_{\mathcal{C}} \end{bmatrix} \]

1.3.2 Переход к стандартному базису

Если новый базис — стандартный базис (standard basis) \(\mathcal{S}\), а векторы \(\vec{b}_i\) уже заданы в стандартных координатах, то матрица \(P_{\mathcal{S} \leftarrow \mathcal{B}}\) — это просто матрица со столбцами \(\vec{b}_i\): \[ P_{\mathcal{S} \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \dots & \vec{b}_n \end{bmatrix} \]

1.3.3 Обращение матрицы перехода

Чтобы вернуться из координат в \(\mathcal{C}\) к координатам в \(\mathcal{B}\), берут обратную матрицу: \[ P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} \] Тогда \[ [\vec{v}]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} [\vec{v}]_{\mathcal{C}} \]

1.4 Транспонирование матрицы (transpose)
1.4.1 Определение

Транспонированная матрица (transpose) \(A^T\) получается отражением \(A\) относительно главной диагонали: строки и столбцы меняются местами. Если \(A\) имеет размер \(m \times n\), то \(A^T\) имеет размер \(n \times m\), а элемент \((i,j)\) в \(A\) переходит в позицию \((j,i)\) в \(A^T\).

Например: если \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}\), то \(A^T = \begin{pmatrix} a & c & e \\ b & d & f \end{pmatrix}\).

1.4.2 Свойства транспонирования

Часто используются свойства:

  • Двойное транспонирование: \((A^T)^T = A\).
  • Сумма: \((A + B)^T = A^T + B^T\).
  • Умножение на скаляр: \((\lambda A)^T = \lambda A^T\).

2. Определения

  • Базис (basis): линейно независимый набор векторов, который порождает всё пространство.
  • Линейная независимость (linearly independent): ни один вектор не выражается через остальные линейной комбинацией.
  • Порождающее множество (spanning set): из векторов этого набора линейными комбинациями получается любой вектор пространства.
  • Вектор координат (coordinate vector): столбец коэффициентов разложения вектора по базису; обозначение \([\vec{v}]_{\mathcal{B}}\).
  • Матрица перехода (change-of-basis matrix): матрица \(P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}}\), переводящая \([\vec{v}]_{\mathcal{B}}\) в \([\vec{v}]_{\mathcal{C}}\).
  • Стандартный базис (standard basis): базис из «единичных» направлений с одной единицей в одной координате и нулями в остальных.
  • Транспонирование (matrix transpose): матрица \(A^T\), полученная перестановкой строк и столбцов \(A\).

3. Формулы

  • Вектор по координатам: \[ \vec{v} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_n\vec{b}_n \]
  • Переход координат (change-of-basis transformation): \[ [\vec{v}]_{\mathcal{C}} = P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} [\vec{v}]_{\mathcal{B}} \]
  • Составление матрицы перехода (change-of-basis matrix composition): \[ P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} [\vec{b}_1]_{\mathcal{C}} & [\vec{b}_2]_{\mathcal{C}} & \dots & [\vec{b}_n]_{\mathcal{C}} \end{bmatrix} \]
  • Обратный переход (inverse change-of-basis): \[ P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} \]
  • Переход через стандартный базис (via standard basis): \[ P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{S} \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} P_{\mathcal{S} \leftarrow \mathcal{C}} \]
  • Обратная матрица \(2\times 2\) (inverse of a \(2\times 2\) matrix): для \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), \[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
  • Базис через определитель (basis via determinant): векторы \(\{\vec{v_1}, \dots, \vec{v_n}\}\) образуют базис, если \(\det([\vec{v_1} \dots \vec{v_n}]) \neq 0\).
  • Элемент произведения матриц (matrix multiplication element): \((AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj}\)

4. Примеры

4.1. Матрицы перехода и преобразование координат (Лаба 4, Задание 1)

На плоскости заданы два базиса: \(\mathcal{B} = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}\}\) (старый базис) и \(\mathcal{B}' = \{\vec{e'_1}, \vec{e'_2}\}\) (новый базис). Во втором базисе \(\mathcal{B}'\) вектор \(\vec{e_1}\) имеет координаты \((-1, 3)\), а вектор \(\vec{e_2}\) — координаты \((2, -7)\).

  1. Составьте матрицы перехода из старого базиса в новый и обратно.
  2. Найдите координаты вектора в старом базисе, если в новом базисе они равны \(\alpha'_1, \alpha'_2\).
  3. Найдите координаты вектора в новом базисе, если в старом базисе они равны \(\alpha_1, \alpha_2\).
Нажмите, чтобы увидеть решение

Часть (а): матрицы перехода

  1. Old to New Matrix (\(P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}}\)): The columns of this matrix are the coordinate vectors of the old basis vectors with respect to the new basis.
    • Given: \([\vec{e_1}]_{\mathcal{B}'} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\) and \([\vec{e_2}]_{\mathcal{B}'} = \begin{bmatrix} 2 \\ -7 \end{bmatrix}\).
    • \(P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -7 \end{bmatrix}\).
  2. New to Old Matrix (\(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}\)): This matrix is the inverse of the matrix from the previous step.
    • \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} = (P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -7 \end{bmatrix}^{-1}\).
    • Calculate the determinant: \(\det = (-1)(-7) - (2)(3) = 7 - 6 = 1\).
    • Calculate the inverse: \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} = \frac{1}{1}\begin{bmatrix} -7 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\).

Часть (б): из новых координат в старые

  1. Use the appropriate transition matrix: To convert from the new basis (\(\mathcal{B}'\)) to the old basis (\(\mathcal{B}\)), we use \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}\).
  2. Apply the formula: \([\vec{v}]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} [\vec{v}]_{\mathcal{B}'}\).
    • Let \([\vec{v}]_{\mathcal{B}'} = \begin{bmatrix} \alpha'_1 \\ \alpha'_2 \end{bmatrix}\).
    • \([\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} -7 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha'_1 \\ \alpha'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7\alpha'_1 - 2\alpha'_2 \\ -3\alpha'_1 - \alpha'_2 \end{bmatrix}\).

Часть (в): из старых координат в новые

  1. Use the appropriate transition matrix: To convert from the old basis (\(\mathcal{B}\)) to the new basis (\(\mathcal{B}'\)), we use \(P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}}\).
  2. Apply the formula: \([\vec{v}]_{\mathcal{B}'} = P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}} [\vec{v}]_{\mathcal{B}}\).
    • Let \([\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{bmatrix}\).
    • \([\vec{v}]_{\mathcal{B}'} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\alpha_1 + 2\alpha_2 \\ 3\alpha_1 - 7\alpha_2 \end{bmatrix}\).

Ответ:

  1. \(P_{\mathcal{B}' \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -7 \end{bmatrix}\), \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} = \begin{bmatrix} -7 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\).
  2. The coordinates in the old basis are \((-7\alpha'_1 - 2\alpha'_2, -3\alpha'_1 - \alpha'_2)\).
  3. The coordinates in the new basis are \((-\alpha_1 + 2\alpha_2, 3\alpha_1 - 7\alpha_2)\).
4.2. Координаты вектора в заданном базисе (Лаба 4, Задание 2)

Given vectors: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \end{bmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\), \(\vec{d} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix}\). If vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) form a basis (you should check it), find the coordinates of \(\vec{c}\) and \(\vec{d}\) in this basis.

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Check if \(\{\vec{a}, \vec{b}\}\) is a basis: Two vectors in \(\mathbb{R}^2\) form a basis if they are linearly independent. This is true if the determinant of the matrix formed by them is non-zero.
    • Let \(M = [\vec{a} \ \vec{b}] = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\).
    • \(\det(M) = (-5)(3) - (-1)(-1) = -15 - 1 = -16\).
    • Since \(\det(M) \neq 0\), the vectors are linearly independent and form a basis.
  2. Find the coordinates of \(\vec{c}\): We need to find scalars \(k_1, k_2\) such that \(\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}\).
    • \(\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = k_1\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \end{bmatrix} + k_2\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\).
    • This gives the system of equations:
      • \(-5k_1 - k_2 = -1\)
      • \(-k_1 + 3k_2 = 2\)
    • Solving this system yields \(k_1 = 1/16\) and \(k_2 = 11/16\).
  3. Find the coordinates of \(\vec{d}\): We need to find scalars \(m_1, m_2\) such that \(\vec{d} = m_1\vec{a} + m_2\vec{b}\).
    • \(\begin{bmatrix} 2 \\ -6 \end{bmatrix} = m_1\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \end{bmatrix} + m_2\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\).
    • This gives the system of equations:
      • \(-5m_1 - m_2 = 2\)
      • \(-m_1 + 3m_2 = -6\)
    • Solving this system yields \(m_1 = 0\) and \(m_2 = -2\).
Ответ: The coordinates of \(\vec{c}\) in the basis \(\{\vec{a}, \vec{b}\}\) are \(\begin{bmatrix} 1/16 \\ 11/16 \end{bmatrix}\). The coordinates of \(\vec{d}\) are \(\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}\).
4.3. Координаты в базисе в \(\mathbb{R}^3\) (Лаба 4, Задание 3)

Given 4 vectors \(\vec{f_1}, \vec{f_2}, \vec{f_3}, \vec{x}\) and the standard basis \(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\). Find the coordinates of \(\vec{x}\) in the basis \(\{\vec{f_1}, \vec{f_2}, \vec{f_3}\}\), where \(\vec{f_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\vec{f_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\vec{f_3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\), \(\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Set up the vector equation: We need to find scalars \(c_1, c_2, c_3\) such that \(\vec{x} = c_1\vec{f_1} + c_2\vec{f_2} + c_3\vec{f_3}\).
    • \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}\).
  2. Write the system of linear equations:
      1. \(c_1 + c_2 + c_3 = 1\)
      1. \(c_1 + 2c_2 + 2c_3 = 1\)
      1. \(c_1 + c_2 + 2c_3 = 0\)
  3. Solve the system:
    • Subtract equation (1) from equation (3): \((c_1 + c_2 + 2c_3) - (c_1 + c_2 + c_3) = 0 - 1 \implies c_3 = -1\).
    • Subtract equation (1) from equation (2): \((c_1 + 2c_2 + 2c_3) - (c_1 + c_2 + c_3) = 1 - 1 \implies c_2 + c_3 = 0\).
    • Substitute \(c_3 = -1\) into the new equation: \(c_2 + (-1) = 0 \implies c_2 = 1\).
    • Substitute \(c_2 = 1\) and \(c_3 = -1\) into equation (1): \(c_1 + 1 + (-1) = 1 \implies c_1 = 1\).
  4. Write the coordinate vector: The coordinates of \(\vec{x}\) are the scalars \(c_1, c_2, c_3\).
    • \([\vec{x}]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\).
Ответ: The coordinates of \(\vec{x}\) in the basis \(\{\vec{f_1}, \vec{f_2}, \vec{f_3}\}\) are \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\).
4.4. Умножение матриц \(2\times 2\) (Лекция 4, Пример 1)

Let’s compute \(C = AB\) where: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Recall the rule for matrix multiplication: The element in the \(i\)-th row and \(j\)-th column of the product matrix C is the dot product of the \(i\)-th row of A and the \(j\)-th column of B.
  2. Calculate the element \(c_{11}\): First row of A \(\cdot\) First column of B.
    • \(c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 5 + 14 = 19\).
  3. Calculate the element \(c_{12}\): First row of A \(\cdot\) Second column of B.
    • \(c_{12} = (1)(6) + (2)(8) = 6 + 16 = 22\).
  4. Calculate the element \(c_{21}\): Second row of A \(\cdot\) First column of B.
    • \(c_{21} = (3)(5) + (4)(7) = 15 + 28 = 43\).
  5. Calculate the element \(c_{22}\): Second row of A \(\cdot\) Second column of B.
    • \(c_{22} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50\).
  6. Assemble the final matrix C:
    • \(C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\).
Ответ: \(C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\).
4.5. Умножение матриц \(3\times 3\) (один элемент) (Лекция 4, Пример 2)

Let’s compute just one element, \(c_{23}\), of \(C = AB\) where: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Identify the required row and column: The element \(c_{23}\) is the result of the dot product of the second row of matrix A and the third column of matrix B.
  2. Extract the row and column:
    • Row 2 of A: \([-2, 3, 1]\)
    • Column 3 of B: \([3, 1, 5]\)
  3. Calculate the dot product:
    • \(c_{23} = (-2)(3) + (3)(1) + (1)(5)\)
    • \(= -6 + 3 + 5 = 2\).
Ответ: The element \(c_{23}\) of the product matrix C is \(2\).
4.6. Координаты в нестандартном базисе (Лекция 4, Пример 3)

Let’s consider \(\mathbb{R}^2\) with:

  • Standard Basis: \(S = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\)
  • New Basis: \(\mathcal{B} = \left\{\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\}\)

What are the coordinates of \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}_S\) in the new basis \(\mathcal{B}\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Set up the equation: We are looking for scalars \(c_1\) and \(c_2\) such that \(\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + c_2\mathbf{b}_2\). This gives the vector equation:
    • \(\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)
  2. Write the system of linear equations:
    • \(4 = 1c_1 + 1c_2\)
    • \(2 = 1c_1 - 1c_2\)
  3. Solve the system:
    • Add the two equations together: \((4+2) = (c_1+c_1) + (c_2-c_2) \implies 6 = 2c_1 \implies c_1 = 3\).
    • Substitute \(c_1=3\) into the first equation: \(4 = 3 + c_2 \implies c_2 = 1\).
  4. Write the coordinate vector: The coordinates of \(\mathbf{v}\) in the basis \(\mathcal{B}\) are the scalars we found. This is written as \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\).
    • \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\).
Ответ: The coordinates of \(\mathbf{v}\) in the new basis \(\mathcal{B}\) are \(\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\).
4.7. Матрица перехода к стандартному базису (Лекция 4, Пример 4)

Given the bases from the previous example:

  • \(\mathcal{B} = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\}\)
  • \(S = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\) (the standard basis)

Find \(P_{S \leftarrow \mathcal{B}}\), the matrix that changes from \(\mathcal{B}\)-coordinates to standard \(S\)-coordinates.

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Recall the definition: The change-of-basis matrix from a basis \(\mathcal{B}\) to the standard basis \(S\) is formed by simply using the vectors of the basis \(\mathcal{B}\) as its columns.
  2. Identify the basis vectors of \(\mathcal{B}\):
    • \(\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    • \(\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)
  3. Construct the matrix: Place the basis vectors as columns in the matrix.
    • \(P_{S \leftarrow \mathcal{B}} = [\mathbf{b}_1 \ | \ \mathbf{b}_2] = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\).
  4. Verification (Using previous example): The relationship is \([\mathbf{v}]_S = P_{S \leftarrow \mathcal{B}} [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\). From the previous example, we found \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\).
    • \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(3)+1(1) \\ 1(3)-1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}\), which is the original vector \([\mathbf{v}]_S\). The matrix is correct.
Ответ: The change-of-basis matrix is \(P_{S \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\).
4.8. Из заданного базиса в стандартные координаты (Туториал 4, Задание 1)

Consider the basis \(\mathcal{B} = \left\{\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}\) for \(\mathbb{R}^2\). The vector \(\mathbf{v}\) has coordinates \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\). What is \(\mathbf{v}\) in the standard coordinates \(([\mathbf{v}]_S)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Recall the definition of coordinates: The coordinate vector \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\) means that \(\mathbf{v}\) is a linear combination of the basis vectors of \(\mathcal{B}\) with these scalars.
    • \(\mathbf{v} = 2\mathbf{b}_1 + (-1)\mathbf{b}_2\).
  2. Substitute the basis vectors:
    • \(\mathbf{v} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\).
  3. Perform the vector arithmetic:
    • \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-3 \\ 4-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\).
Ответ: The vector in standard coordinates is \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\).
4.9. Координаты относительно базиса (Туториал 4, Задание 2)

Consider the basis \(\mathcal{C} = \left\{\mathbf{c}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{c}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\}\) for \(\mathbb{R}^2\). Find the coordinates of the vector \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \end{bmatrix}\) relative to the basis \(\mathcal{C}\), i.e., find \([\mathbf{v}]_{\mathcal{C}}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Set up the vector equation: We are looking for scalars \(k_1\) and \(k_2\) such that \(\mathbf{v} = k_1\mathbf{c}_1 + k_2\mathbf{c}_2\). The coordinate vector will then be \([\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \end{bmatrix}\).
    • \(\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \end{bmatrix} = k_1\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\).
  2. Write the corresponding system of linear equations:
    • \(5 = 2k_1 + 1k_2\)
    • \(0 = 1k_1 - 1k_2\)
  3. Solve the system:
    • From the second equation, we get \(k_1 = k_2\).
    • Substitute this into the first equation: \(5 = 2k_1 + k_1 \implies 5 = 3k_1 \implies k_1 = 5/3\).
    • Since \(k_1 = k_2\), we have \(k_2 = 5/3\).
  4. Write the coordinate vector:
    • \([\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = \begin{bmatrix} 5/3 \\ 5/3 \end{bmatrix}\).
Ответ: The coordinates of \(\mathbf{v}\) relative to the basis \(\mathcal{C}\) are \(\begin{bmatrix} 5/3 \\ 5/3 \end{bmatrix}\).
4.10. Матрица перехода \(P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}\) (Туториал 4, Задание 3a)

Let two bases for \(\mathbb{R}^2\) be:

  • \(\mathcal{B} = \left\{\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\}\)
  • \(\mathcal{C} = \left\{\mathbf{c}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \mathbf{c}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}\)

Find the change-of-basis matrix \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Recall the formula for the change-of-basis matrix: The matrix \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}\) can be found using the formula \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = (P_{S \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} P_{S \leftarrow \mathcal{C}}\), where \(S\) is the standard basis.
  2. Construct the matrices for changing to the standard basis: These matrices have the basis vectors as their columns.
    • \(P_{S \leftarrow \mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
    • \(P_{S \leftarrow \mathcal{C}} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
  3. Find the inverse of \(P_{S \leftarrow \mathcal{B}}\): For a \(2 \times 2\) matrix \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), the inverse is \(\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).
    • \(\det(P_{S \leftarrow \mathcal{B}}) = (1)(-1) - (1)(1) = -2\).
    • \((P_{S \leftarrow \mathcal{B}})^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}\).
  4. Multiply the matrices to find \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}}\):
    • \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
    • \(= \begin{bmatrix} (1/2)(2)+(1/2)(1) & (1/2)(1)+(1/2)(0) \\ (1/2)(2)+(-1/2)(1) & (1/2)(1)+(-1/2)(0) \end{bmatrix}\)
    • \(= \begin{bmatrix} 1+1/2 & 1/2 \\ 1-1/2 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}\).
Ответ: The change-of-basis matrix is \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = \begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}\).
4.11. Применение матрицы перехода (Туториал 4, Задание 3b)

Let \([\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\). Find \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}\) using the matrix from the previous part.

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Recall the conversion formula: The coordinates in basis \(\mathcal{B}\) can be found by multiplying the change-of-basis matrix by the coordinates in basis \(\mathcal{C}\).
    • \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} [\mathbf{v}]_{\mathcal{C}}\).
  2. Use the matrix from part (a):
    • \(P_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{C}} = \begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}\).
  3. Perform the matrix-vector multiplication:
    • \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    • \(= \begin{bmatrix} (3/2)(3) + (1/2)(1) \\ (1/2)(3) + (1/2)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9/2 + 1/2 \\ 3/2 + 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10/2 \\ 4/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}\).
Ответ: \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}\).
4.12. Координаты многочлена в базисе \(\mathbb{P}_2\) (Туториал 4, Задание 4)

The set \(\mathcal{B} = \{1 - t^2, t - t^2, 2 - t + t^2\}\) is a basis for \(\mathbb{P}_2\) (the space of polynomials of degree \(\le 2\)). Find the coordinate vector of the polynomial \(\mathbf{p}(t) = 3 + t - 6t^2\) relative to \(\mathcal{B}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение
  1. Set up the equation: We are looking for scalars \(c_1, c_2, c_3\) such that:
    • \(\mathbf{p}(t) = c_1(1 - t^2) + c_2(t - t^2) + c_3(2 - t + t^2)\).
    • \(3 + t - 6t^2 = c_1 - c_1t^2 + c_2t - c_2t^2 + 2c_3 - c_3t + c_3t^2\).
  2. Group terms by powers of \(t\):
    • \(3 + t - 6t^2 = (c_1 + 2c_3) + (c_2 - c_3)t + (-c_1 - c_2 + c_3)t^2\).
  3. Equate coefficients to form a system of linear equations:
    • Constant term: \(c_1 + 2c_3 = 3\)
    • Coefficient of \(t\): \(c_2 - c_3 = 1\)
    • Coefficient of \(t^2\): \(-c_1 - c_2 + c_3 = -6\)
  4. Solve the system:
    • From the second equation, \(c_2 = 1 + c_3\).
    • Substitute this into the third equation: \(-c_1 - (1 + c_3) + c_3 = -6 \implies -c_1 - 1 = -6 \implies c_1 = 5\).
    • Substitute \(c_1=5\) into the first equation: \(5 + 2c_3 = 3 \implies 2c_3 = -2 \implies c_3 = -1\).
    • Finally, find \(c_2\): \(c_2 = 1 + c_3 = 1 + (-1) = 0\).
  5. Write the coordinate vector:
    • \([\mathbf{p}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\).
Ответ: The coordinate vector is \(\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\).
4.13. Угол между векторами (Тест 1, Задание 1)

What is the angle between \(\mathbf{a} = (3, 2, 4)\) and \(\mathbf{b} = (2, 3, -3)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use the dot product to find the angle between vectors.

  1. Calculate the dot product:

    \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(2) + (2)(3) + (4)(-3) = 6 + 6 - 12 = 0\]

  2. Interpret the result:

    Since \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\), the vectors are perpendicular.

  3. Find the angle:

    When two vectors are perpendicular, the angle between them is \(90°\).

Ответ: \(90°\)

4.14. Какое множество не является векторным пространством (Тест 1, Задание 2)

Which of the following cases is not a vector space?

A. \(\mathbb{R}^2\) B. \(\mathbb{R}^3\) C. The set of all polynomials of at most degree \(n\) D. The set \(S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0, y \ge 0 \right\}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: A vector space must be closed under addition and scalar multiplication.

  1. Check option A:

    \(\mathbb{R}^2\) is a standard vector space. ✓

  2. Check option B:

    \(\mathbb{R}^3\) is a standard vector space. ✓

  3. Check option C:

    The set of all polynomials of at most degree \(n\) is a vector space. ✓

  4. Check option D:

    Consider the set \(S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0, y \ge 0 \right\}\).

    Take a vector \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \in S\) and multiply by scalar \(-1\): \[-1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

    This result has negative components, so it’s NOT in \(S\). Therefore, \(S\) is not closed under scalar multiplication.

Ответ: D. The set \(S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0, y \ge 0 \right\}\)

4.15. Неизвестные координаты при равенстве векторов (Тест 1, Задание 3)

Determine the unknown coordinate \((x, y)\) if \(\vec{AB} = \vec{CD}\), where \(A(3, 5)\), \(B(4, 6)\), \(C(-2, 5)\), \(D(x, y)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Two vectors are equivalent if they have the same components.

  1. Find vector \(\vec{AB}\):

    \[\vec{AB} = B - A = (4 - 3, 6 - 5) = (1, 1)\]

  2. Find vector \(\vec{CD}\) in terms of \(x\) and \(y\):

    \[\vec{CD} = D - C = (x - (-2), y - 5) = (x + 2, y - 5)\]

  3. Set the vectors equal:

    Since \(\vec{AB} = \vec{CD}\): \[(1, 1) = (x + 2, y - 5)\]

  4. Solve for \(x\) and \(y\):

    \[x + 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1\] \[y - 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 6\]

Ответ: \((-1, 6)\)

4.16. Проекция вектора на вектор (Тест 1, Задание 4)

What is the vector projection of \(\mathbf{v} = (5, 3)\) onto \(\mathbf{w} = (4, 0)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: The vector projection formula is \(\text{proj}_{\mathbf{w}}\mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}}\mathbf{w}\).

  1. Calculate dot products:

    \[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = (5)(4) + (3)(0) = 20\] \[\mathbf{w} \cdot \mathbf{w} = (4)(4) + (0)(0) = 16\]

  2. Apply the projection formula:

    \[\text{proj}_{\mathbf{w}}\mathbf{v} = \frac{20}{16}(4, 0) = \frac{5}{4}(4, 0) = (5, 0)\]

Ответ: \((5, 0)\)

4.17. Матрица \(P_{S\leftarrow B}\) (Тест 1, Задание 5)

Consider the following bases:

  • \(B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}\)
  • \(S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}\) (the standard basis)

What is \(P_{S \leftarrow B}\), the matrix that changes from \(B\)-coordinates to standard \(S\)-coordinates?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: The change-of-basis matrix from a basis to the standard basis has the basis vectors as its columns.

  1. Identify the basis vectors:

    \[\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

  2. Construct the matrix:

    The columns of \(P_{S \leftarrow B}\) are \([\mathbf{b}_1]_S\) and \([\mathbf{b}_2]_S\). Since these are already in standard coordinates:

    \[P_{S \leftarrow B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\]

Ответ: \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)

4.18. Площадь треугольника (Тест 1, Задание 6)

What is the area of a triangle with vertices at \(A(1, 2, 0)\), \(B(3, 0, -3)\), and \(C(5, 2, 6)\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: The area of a triangle is \(\frac{1}{2}||\vec{AB} \times \vec{AC}||\).

  1. Find the vectors:

    \[\vec{AB} = B - A = (3 - 1, 0 - 2, -3 - 0) = (2, -2, -3)\] \[\vec{AC} = C - A = (5 - 1, 2 - 2, 6 - 0) = (4, 0, 6)\]

  2. Calculate the cross product:

    \[\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & -3 \\ 4 & 0 & 6 \end{vmatrix}\]

    \[= \mathbf{i}((-2)(6) - (-3)(0)) - \mathbf{j}((2)(6) - (-3)(4)) + \mathbf{k}((2)(0) - (-2)(4))\]

    \[= \mathbf{i}(-12 - 0) - \mathbf{j}(12 + 12) + \mathbf{k}(0 + 8)\]

    \[= (-12, -24, 8)\]

  3. Find the magnitude:

    \[||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \sqrt{(-12)^2 + (-24)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 576 + 64} = \sqrt{784} = 28\]

  4. Calculate the area:

    \[\text{Area} = \frac{1}{2} \times 28 = 14\]

Ответ: \(14\)

4.19. Линейная независимость пар векторов (Тест 1, Задание 7)

Which of the following pairs of vectors are linearly independent?

A. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix}\)

B. \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}\)

C. \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \\ 5/2 \end{bmatrix}\)

D. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Two vectors are linearly independent if neither is a scalar multiple of the other.

  1. Check option A:

    \[\begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\]

    These vectors are linearly dependent. ✗

  2. Check option B:

    \[\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]

    These vectors are linearly dependent. ✗

  3. Check option C:

    \[\begin{bmatrix} 1 \\ 1/2 \\ 5/2 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}\]

    These vectors are linearly dependent. ✗

  4. Check option D:

    These vectors are not scalar multiples of each other, so they are linearly independent. ✓

Ответ: D. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

4.20. Проекция и отражение вектора (Тест 1, Задание 8)

Suppose \(\mathbf{a} = (2, 2, -1)\) and \(\mathbf{b} = (0, 4, 3)\). Compute the projection of \(\mathbf{a}\) on \(\mathbf{b}\) which is the vector \(\mathbf{a}'\). Also find \(\mathbf{a}''\) (the reflection of \(\mathbf{a}\) over \(\mathbf{b}\)).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: The projection is \(\mathbf{a}' = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}\) and the reflection is \(\mathbf{a}'' = 2\mathbf{a}' - \mathbf{a}\).

  1. Calculate the projection \(\mathbf{a}'\):

    \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(0) + (2)(4) + (-1)(3) = 0 + 8 - 3 = 5\] \[\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = (0)^2 + (4)^2 + (3)^2 = 0 + 16 + 9 = 25\]

    \[\mathbf{a}' = \frac{5}{25}\mathbf{b} = \frac{1}{5}(0, 4, 3) = \left(0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)\]

  2. Calculate the reflection \(\mathbf{a}''\):

    \[\mathbf{a}'' = 2\mathbf{a}' - \mathbf{a} = 2\left(0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right) - (2, 2, -1)\]

    \[= \left(0, \frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right) - (2, 2, -1)\]

    \[= \left(0 - 2, \frac{8}{5} - 2, \frac{6}{5} - (-1)\right)\]

    \[= \left(-2, \frac{8}{5} - \frac{10}{5}, \frac{6}{5} + \frac{5}{5}\right)\]

    \[= \left(-2, -\frac{2}{5}, \frac{11}{5}\right)\]

Ответ: \(\mathbf{a}' = \left(0, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)\), \(\mathbf{a}'' = \left(-2, -\frac{2}{5}, \frac{11}{5}\right)\)

4.21. Проверка матричного многочлена (Тест 1, Задание 9)

If \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\), show that \(A^2 - 4A - 5I = 0\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Compute \(A^2\), then verify the equation.

  1. Calculate \(A^2\):

    \[A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}\]

    \[= \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix}\]

    \[= \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}\]

  2. Calculate \(4A\):

    \[4A = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix}\]

  3. Calculate \(5I\):

    \[5I = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\]

  4. Verify \(A^2 - 4A - 5I = 0\):

    \[A^2 - 4A - 5I = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\]

    \[= \begin{bmatrix} 9-4-5 & 8-8-0 & 8-8-0 \\ 8-8-0 & 9-4-5 & 8-8-0 \\ 8-8-0 & 8-8-0 & 9-4-5 \end{bmatrix}\]

    \[= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0\]

Ответ: Verified: \(A^2 - 4A - 5I = 0\)

4.22. Проекция суммы векторов (Тест 1, Задание 10)

Given \(\mathbf{a} = (1, -2, -1)\), \(\mathbf{b} = (1, 2, -1)\) and \(\mathbf{c} = (2, -1, -1)\), compute the projection of \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) onto \(\mathbf{c}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: First find \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\), then project onto \(\mathbf{c}\).

  1. Calculate \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\):

    \[\mathbf{a} + \mathbf{b} = (1, -2, -1) + (1, 2, -1) = (2, 0, -2)\]

  2. Calculate the projection:

    \[(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (2)(2) + (0)(-1) + (-2)(-1) = 4 + 0 + 2 = 6\] \[\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6\]

    \[\text{proj}_{\mathbf{c}}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{6}{6}\mathbf{c} = 1 \cdot (2, -1, -1) = (2, -1, -1)\]

Ответ: \((2, -1, -1)\)

4.23. О равенстве dot product и равенстве векторов (Тест 1, Задание 11)

Assume \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) and \(\mathbf{c}\) are three nonzero vectors. If \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\), is it true to say \(\mathbf{b} = \mathbf{c}\)? Why?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: The dot product provides only one piece of information about the relationship between vectors.

  1. Analyze the condition:

    The equation \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\) can be rewritten as: \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0\] \[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) = 0\]

    This means \(\mathbf{a}\) is perpendicular to \((\mathbf{b} - \mathbf{c})\).

  2. Provide a counterexample:

    Let \(\mathbf{a} = (1, 0, 0)\), \(\mathbf{b} = (0, 1, 0)\), \(\mathbf{c} = (0, 0, 1)\).

    Then: \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0\] \[\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0\]

    So \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\), but clearly \(\mathbf{b} \neq \mathbf{c}\).

Ответ: No, it is not necessarily true. Counterexample: \(\mathbf{a} = (1, 0, 0)\), \(\mathbf{b} = (0, 1, 0)\), \(\mathbf{c} = (0, 0, 1)\).

4.24. Объём параллелепипеда (Тест 1, Задание 12)

Compute the volume of the parallelepiped formed by the vectors: \[\mathbf{a} = (1, 1, 0), \quad \mathbf{b} = (0, 1, 1), \quad \mathbf{c} = (1, 0, 1)\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: The volume is the absolute value of the scalar triple product.

  1. Calculate the scalar triple product:

    \[V = \left| \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \right| = \left| \det \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right|\]

  2. Expand the determinant:

    \[= \left| 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right|\]

    \[= |1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 1(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0|\]

    \[= |1(1) - 1(-1)| = |1 + 1| = |2| = 2\]

Ответ: \(2\)

4.25. Определитель и обратная матрица (Тест 1, Задание 13)

Compute the determinant of the following matrix and also its inverse: \[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Use cofactor expansion for the determinant, then use the formula \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)\).

  1. Calculate the determinant:

    Expand along the first row: \[\det(A) = 0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\]

    \[= 0 - 1(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) + 0 = -6\]

  2. Find the inverse:

    Since this is a simple permutation-like matrix, we can verify by inspection or calculation:

    \[A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}\]

    We can verify: \(AA^{-1} = I\).

Ответ: \(\det(A) = -6\), \(A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}\)

4.26. Некоммутативность умножения матриц (Тест 1, Задание 14)

Give two matrices for which \(AB \neq BA\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: Matrix multiplication is generally not commutative.

  1. Choose simple matrices:

    Let: \[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

  2. Calculate \(AB\):

    \[AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

  3. Calculate \(BA\):

    \[BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]

  4. Verify \(AB \neq BA\):

    Since \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\), we have \(AB \neq BA\). ✓

Ответ: \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) (or many other examples)